淺析FFT算法在電機(jī)保護(hù)系統(tǒng)中的應(yīng)用分析

劉丹

安科瑞電氣股份有限公司 上海嘉定 201801

摘要：微型電機(jī)具有體積小、重量輕、便于控制等優(yōu)點，已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)消費等領(lǐng)域.為保證微型電機(jī)的性能滿足使用要求，實時監(jiān)測的環(huán)節(jié).在傳統(tǒng)的電機(jī)保護(hù)中，信號處理采用的都是模擬濾波器.與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器具有更高的靈活性和穩(wěn)定性。本文提出一種基于FFT算法的電壓信號處理方式，利用FFT可以由輸入序列直接計算出輸入信號的直流分量以及各次諧波的幅值和相位的特點，大大簡化了諧波分量的計算。

關(guān)鍵詞：FFT；電機(jī)保護(hù)；數(shù)字信號處理

0引言

FFT是一種DFT的高效算法，基本上可分為時間抽取法和頻率抽取法，把長序列分為短序列，可在時域或頻域進(jìn)行。常用的時域抽取方法是按奇偶將長序列不斷變?yōu)槎绦蛄校敵鲂蛄袨轫樞蛐蛄?，而一般的時間抽取法和頻率抽取法處理的長度只有N=2^M。本文主要研究FFT算法在電力監(jiān)控產(chǎn)品中的應(yīng)用效果，不僅能夠去除諧波干擾，還可以有選擇地單獨計算諧波分量，充分利用了FFT的原位性.

1傅里葉算法的原理

快速傅里葉變換(FFT)是離散傅里葉變換(DFT)的一種快速算法，從物理意義上來看，DFT將時域的數(shù)字信號變換成頻域的離散信號，根據(jù)變換之后的結(jié)果可知時域數(shù)字信號在不同頻率上的幅值，確定時域信號主要分布在哪些頻段上；從數(shù)學(xué)角度來看，ar是將數(shù)字信號變換到幾個正交的坐標(biāo)系中。圖1為時域數(shù)據(jù)的DFT變換。

DFT是連續(xù)傅里葉變換的離散形式。模擬信號x(t)的連續(xù)傅里葉變換可表示為：

x(t)經(jīng)抽樣后變?yōu)閤(nT),:T為抽樣周期。設(shè)x(n)為N點有限長序列，其DFT為:

由式(2)可以看出計算所有x(k)大約需要N²次乘法和N(N-1)次加法，運(yùn)算過程非常復(fù)雜。

一般來說，由于x(n)和W_N^nk都是復(fù)數(shù),X(k)也是復(fù)數(shù)，那么復(fù)數(shù)運(yùn)算實際上可以通過實數(shù)運(yùn)算來完成，式(2)則可以寫成：

仔細(xì)觀察DFT的運(yùn)算，利用系數(shù)W_Nⁿ的以下固有特性，可以減小DFT的運(yùn)算量。

W_Nⁿ的對稱性為：

W_Nⁿ的周期性為：

由此可以得到：

利用這些特性，DFT運(yùn)算中的有些項就可以合并。由于DFT的運(yùn)算量與N²成正比，所以N越小計算量越小。

2 FFT算法的應(yīng)用

離散傅里葉變換(DFT)和快速傅里葉變換(FFT)是同種變換。FFT只不過是利用DFT系數(shù)W_Nⁿ的對稱性和周期性，可以將長序列的DFT分解為短序列的DFT,然后再按一定的規(guī)則進(jìn)行合并，從而得到整個DFT。本文根據(jù)電機(jī)工作時產(chǎn)生的電壓、電流波形的差異來區(qū)分正常電機(jī)和故障電機(jī)。要找出這種差異，首先需要獲取正常電機(jī)和不良電機(jī)的電流、電壓信號數(shù)據(jù)。由于電流信號難以采集，所以首先通過I/V轉(zhuǎn)換電路將電流信號轉(zhuǎn)換為電壓信號，如圖2所示。

電流信號轉(zhuǎn)換為電壓信號之后，信號的采集、分析和處理過程如圖3所示。

假設(shè)采集到的電機(jī)工作時的信號為一周期性信號，即輸入的信號中除基波外，只包含恒定的直流分量和各種整次諧波分量。此時電流輸入信號可以表示為:

其中，a₀、a_k、b_k為傅里葉系數(shù)

由數(shù)學(xué)定理可知周期函數(shù)可展開為傅里葉級數(shù):

其中，式(7)和式(11)的各系數(shù)之間還有以下關(guān)系:

當(dāng)采集到電壓信號后，A_km和φ_k分別對應(yīng)電壓的k次諧波的幅值A_kmk次諧波的相位φ，由此可以計算出電壓的k次諧波的值。得出系數(shù)之間的關(guān)系后還可以得到k次諧波的有功功率P_k、無功功率Q_k和視在功率S_k.

同時可以計算出k次諧波的電壓含有率HRU_k ：

同理得到電壓的諧波總失真度THD_U：

3基2時間抽取FFT算法的分析

設(shè)序列x[k]的長度為用N=2^M為正整數(shù)，M為正整數(shù)，長度不滿足該條件，可通過補(bǔ)0的方法使序列x[k]滿足該條件。對長度為N的序列x[k]進(jìn)行時間抽取，將其分解為兩個

長度為N/2點的序列 ，分別為 ：

其中，x₁[k]是序列中偶數(shù)點構(gòu)成的序列，x₂[k]是序列中奇數(shù)點構(gòu)成的序列。

對x[k]進(jìn)行DFT得：

由于旋轉(zhuǎn)因子W_Nⁿ擁有式(4)、式(5)和式(6)的特性,因此：

綜上所述，可以表示為：

將式(22)和式(23)合并即可得到序列x[k]的DFT。蝶形計算結(jié)構(gòu)如圖4所示。

基2時間抽取FFT運(yùn)算流圖(N=8)如圖5所示。

4仿真結(jié)果

實際中常常會遇到要求兩個序列的線性卷積，如一個信號序列x(n)通過FIR濾波器時，其輸出y(n)應(yīng)是x(h)與h(n)的卷積：

有限長序列x(n)與h(n)的卷積結(jié)果y(n)也是一個有限長序列。假設(shè)x(n)和h(n)的長度分別為N1和N2,則y(n)的長度為N1+N2-1。若通過補(bǔ)0使x(n)和h(n)都加長到N點,就可以用圓周卷積計算線性卷積。這樣得到用FFT運(yùn)算來求y(n)值(快速卷積)的步驟如下。

(1) 對序列x(n)和h(n)補(bǔ)0至長為N,使得N≥N1+N2-1,,并且N=2^M(M為整數(shù))，即：

(2)用FFT計算x(n)與h(n)的離散傅里葉變換:

(3)計算XQ=X(QH(Q。

(4)用IFFT計算Y(k)的離散傅里葉反變換得：

例如，運(yùn)用FFT實現(xiàn)序列x(n)=sin(0.4n),1≤n≤15與序列y(n)=0.9ⁿ,1≤n≤20之間的快速卷積，并測試直接卷積與快速卷積的時間，得到的卷積結(jié)果如圖6所示。其中，運(yùn)用快速卷積的時間為0.000033秒，運(yùn)用直接卷積的時間為0.000049秒。很明顯，運(yùn)用FFT的快速卷積運(yùn)算速度上優(yōu)于宜接卷積。

5.安科瑞智能電動機(jī)保護(hù)器介紹

5.1產(chǎn)品介紹

智能電動機(jī)保護(hù)器(以下簡稱保護(hù)器)，采用單片機(jī)技術(shù)，具有抗干擾能力強(qiáng)、工作穩(wěn)定可靠、數(shù)字化、智能化、網(wǎng)絡(luò)化等特點。保護(hù)器能對電動機(jī)運(yùn)行過程中出現(xiàn)的過載、斷相、不平衡、欠載、接地/漏電、堵轉(zhuǎn)、阻塞、外部故障等多種情況進(jìn)行保護(hù)，并設(shè)有SOE故障事件記錄功能，方便現(xiàn)場維護(hù)人員查找故障原因。適用于煤礦、石化、冶煉、電力、以及民用建筑等領(lǐng)域。本保護(hù)器具有RS485遠(yuǎn)程通訊接口，DC4-20mA模擬量輸出，方便與PLC、PC等控制機(jī)組成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。實現(xiàn)電動機(jī)運(yùn)行的遠(yuǎn)程監(jiān)控。

5.2技術(shù)參數(shù)

5.2.1數(shù)字式電動機(jī)保護(hù)器

5.2.2模塊式電動機(jī)保護(hù)器

5.3產(chǎn)品選型

6 結(jié)束語

本文研究了一種由DFT優(yōu)化演變而來的FFT算法，與傳統(tǒng)方法相比，該算法具有高效的運(yùn)算效率，為信號處理提供了良好的條件。仿真結(jié)果證明，該算法能夠減少信號處理所需的時間，可以直接計算出電壓信號的直流分量以及各次諧波的幅值和相位，便于分析諧波的分量，有利于繼電器及時做出斷電的決策。

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